Suivi de la concentration d'un colorant en solution

Lors d'une expérience de laboratoire, un technicien introduit dans une solution aqueuse un colorant hydrosoluble appelé bleu patenté V (E131).
On souhaite modéliser l’évolution de sa concentration dans la solution sous l’effet d’une dilution progressive.

La concentration \(C(t)\), en \(\text{mg} \cdot \text{L}^{-1}\), est donnée par la fonction \(C(t) = \dfrac{20t}{t^2 + 4}\), où \(t\) représente le temps écoulé, en heures, à partir du moment où on commence à ajouter le colorant.

1. Étude de la concentration
    a. Démontrer que, pour tout réel \(t \geqslant 0\), \(C'(t) = \dfrac{20(2+t)(2 - t)}{(t^2 + 4)^2}\).
    b. Étudier le signe de \(C'(t)\) sur \([0 \,; +\infty[\) et en déduire le tableau de variations de la fonction \(C\).
    c. En déduire la concentration maximale atteinte, ainsi que le moment où elle est atteinte.

2. Seuil de visibilité

Le bleu patenté V devient visuellement indétectable lorsque sa concentration est inférieure à
\(4\) \(\text{mg} \cdot \text{L}^{-1}\).
    a. Démontrer que, pour tout réel \(t \geqslant 0\), \(C(t) - 4 = \dfrac{-4(t - 1)(t - 4)}{t^2 + 4}\).
    b. Étudier le signe de \(C(t) - 4\) sur \([0 \,; +\infty[\).
    c. En déduire pendant combien de temps le colorant reste visible dans la solution.